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心理测验中的3个标准差”：科学排除异常值

2025-08-29 01:00知识问答已帮助17人

在心理测量学中，我们常常需要分析和解释测验结果。理解数据的分布规律，特别是如何识别和处理异常值，对于获得准确的诊断和有意义的结论至关重要。心理测验排除3个标准差是一个常用的统计学方法，它能够帮助我们科学地界定数据的正常范围，并识别可能存在的极端值。

一、理解“标准差”：数据的离散程度

在深入探讨“3个标准差”之前，我们首先需要理解“标准差”在统计学中的含义。

什么是标准差？ 标准差（Standard Deviation, SD）是衡量一组数据离散程度的统计量。它表示数据集中各个数值与其平均数（均值）之间的离散程度。标准差越大，表示数据越分散；标准差越小，表示数据越集中在均值附近。
标准差的计算 标准差的计算过程如下：
1. 计算数据的算术平均数（均值）。
2. 计算每个数据点与均值之间的差值（离差）。
3. 将每个离差平方。
4. 计算平方差的平均数，即方差（Variance）。
5. 对方差开平方根，得到标准差。
公式表示： $$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}} $$ 其中： * $\sigma$ 代表标准差 * $N$ 是数据的总个数 * $x_i$ 是每一个数据点 * $\mu$ 是数据的均值
在实际应用中，我们通常会使用样本标准差，其公式略有不同，分母为 $N-1$，以获得对总体标准差更无偏的估计。
标准差的重要性 标准差在心理测量中具有重要意义：
- 描述数据分布： 帮助我们了解数据的集中趋势和分散程度。
- 比较不同数据集： 能够比较不同测验或不同群体结果的变异性。
- 推断和预测： 为统计推断和预测提供基础。
- 识别异常值： 这是我们本次讨论的核心。

二、正态分布与“68-95-99.7法则”

在许多心理测量中，数据往往呈现出近似正态分布（Normal Distribution）的形态，也称为钟形曲线。正态分布是一种重要的概率分布，其特点是：

对称性： 曲线以均值为中心是对称的。
峰值： 均值处是曲线的最高点。
渐近线： 曲线的两端向横轴渐近，理论上永不触及。

对于服从正态分布的数据，存在一个重要的统计学规律，被称为“68-95-99.7法则”（也称经验法则）：

约68.3%的数据落在均值的一个标准差范围内（即 $\mu \pm 1\sigma$）。
约95.4%的数据落在均值的两个标准差范围内（即 $\mu \pm 2\sigma$）。
约99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内（即 $\mu \pm 3\sigma$）。

这意味着，在理论上，正态分布中只有极少数（约0.3%）的数据会落在均值三个标准差之外。

正态分布图示

三、心理测验中的“3个标准差”排除法

基于正态分布的“68-95-99.7法则”，心理测验排除3个标准差成为了一种常用的统计学方法，用于识别和处理可能存在的异常值（Outliers）。

1. 什么是异常值？

在数据分析中，异常值是指那些与数据集中其他观测值显著不同的数据点。这些值可能由于以下原因产生：

测量错误： 仪器故障、记录错误等。
数据输入错误： 在数据录入过程中出现打字错误或混淆。
抽样误差： 偶然抽到了不具代表性的样本。
真实的极端值： 数据本身就存在非常规的情况，例如某些特殊心理状态下的个体。

2. “3个标准差”排除法的原理

“3个标准差”排除法的基本原理是：

假设数据大致服从正态分布。
将距离均值超过3个标准差的数据点视为异常值。

具体操作如下：

计算数据的均值（$\mu$）和标准差（$\sigma$）。
确定数据的正常范围：
- 下限： $\mu - 3\sigma$
- 上限： $\mu + 3\sigma$
识别异常值： 任何小于下限或大于上限的数据点，都被认为是异常值。

3. 为什么选择“3个标准差”？

选择“3个标准差”作为排除阈值，主要是基于“68-95-99.7法则”所揭示的概率：

排除的合理性： 约99.7%的数据落在 $\mu \pm 3\sigma$ 范围内。这意味着落在该范围之外的数据只占非常小的比例（约0.3%）。如果一个数据点落在3个标准差之外，它很可能不是由随机误差引起的，而是由于测量错误、输入错误，或者确实是一个极端的、需要特别关注的个案。
避免过度排除： 虽然还有更严格的阈值（如4个或5个标准差），但“3个标准差”在保留大部分有效数据和排除明显错误之间取得了一个较好的平衡。过度排除可能导致信息的丢失，而排除不足则可能让错误数据影响分析结果。

4. 实际应用中的注意事项

在心理测验中应用“3个标准差”排除法时，需要注意以下几点：

数据分布的检验： 在应用此方法之前，最好先对数据进行分布检验（如 Shapiro-Wilk 检验或Kolmogorov-Smirnov 检验），确认数据是否近似服从正态分布。如果数据严重偏离正态分布，3个标准差的意义可能就会受到影响。
异常值的性质： 并非所有落入3个标准差之外的数据都必须被删除。需要具体分析异常值出现的原因：
- 可疑错误： 如果是明显的录入错误或测量错误，可以考虑修正或删除。
- 真实但极端的情况： 如果异常值代表了某种真实但非常规的心理状态或行为，删除它可能意味着忽略了重要的信息。在这种情况下，可以考虑使用其他统计方法（如稳健统计量），或者将这些极端个案单独分析。
领域知识： 结合心理学领域的专业知识来判断异常值的意义。例如，在某些特定的心理评估中，某些“异常”分数可能正是研究的目标。
样本量： 在样本量较小时，单个异常值对均值和标准差的影响会更大，可能导致排除标准发生偏差。

四、心理测验中的异常值处理示例

假设我们对一组参与者进行了“情绪稳定性”的心理测验，测验结果（分数）如下：

[85, 92, 78, 88, 95, 72, 81, 90, 85, 98, 65, 82, 89, 75, 80, 93, 150, 87, 79, 83]

我们来演示如何使用“3个标准差”排除法来处理这个数据集。

1. 计算均值

首先，计算这组数据的均值： $$ \mu = \frac{85+92+78+88+95+72+81+90+85+98+65+82+89+75+80+93+150+87+79+83}{20} $$ $$ \mu = \frac{1667}{20} = 83.35 $$

2. 计算标准差

接下来，计算标准差。这需要计算每个数据点与均值的差的平方，然后求平均值的平方根。

| 数据点 ($x_i$) | 离差 ($x_i - \mu$) | 离差平方 ($(x_i - \mu)^2$) | | :------------- | :----------------- | :------------------------- | | 85 | 1.65 | 2.7225 | | 92 | 8.65 | 74.8225 | | 78 | -5.35 | 28.6225 | | 88 | 4.65 | 21.6225 | | 95 | 11.65 | 135.7225 | | 72 | -11.35 | 128.8225 | | 81 | -2.35 | 5.5225 | | 90 | 6.65 | 44.2225 | | 85 | 1.65 | 2.7225 | | 98 | 14.65 | 214.6225 | | 65 | -18.35 | 336.7225 | | 82 | -1.35 | 1.8225 | | 89 | 5.65 | 31.9225 | | 75 | -8.35 | 69.7225 | | 80 | -3.35 | 11.2225 | | 93 | 9.65 | 93.1225 | | 150 | 66.65 | 4442.2225 | | 87 | 3.65 | 13.3225 | | 79 | -4.35 | 18.9225 | | 83 | -0.35 | 0.1225 | | 总计 | | 5708.00 |

方差 ($\sigma^2$) = 总计 / (N-1) = 5708.00 / (20-1) = 5708.00 / 19 ≈ 300.42

标准差 ($\sigma$) = $\sqrt{300.42}$ ≈ 17.33

3. 确定异常值范围

下限 = $\mu - 3\sigma$ = 83.35 - 3 * 17.33 = 83.35 - 51.99 = 31.36
上限 = $\mu + 3\sigma$ = 83.35 + 3 * 17.33 = 83.35 + 51.99 = 135.34

4. 识别异常值

根据计算的范围 (31.36 - 135.34)，我们检查数据点：

分数 150 大于上限135.34，因此被视为异常值。
分数 65 和 72 看起来相对较低，但都在正常范围内。

5. 处理异常值

在这个例子中，150 是一个非常明显的异常值。

可能的处理方式：
- 检查原始数据： 确认150这个分数是否是录入错误。如果确实是错误，可以尝试修正（如果可能）或删除。
- 进一步分析： 如果150是真实分数，需要考虑这个个体在“情绪稳定性”测验中的特殊性。他可能代表了某种非常规的心理状态。在某些情况下，研究者可能会选择保留这个数据，但需要注意它对整体分析结果的影响，或者使用对异常值不敏感的统计方法。

6. 重新计算（如果删除异常值）

如果决定删除150这个异常值，那么数据集将变为：

[85, 92, 78, 88, 95, 72, 81, 90, 85, 98, 65, 82, 89, 75, 80, 93, 87, 79, 83] (共19个数据)

新的均值： $(\frac{1667 - 150}{19}) = \frac{1517}{19} \approx 79.84$
新的标准差： 需要重新计算，这会使新的均值和标准差都发生变化。

这种迭代处理异常值的方法，在数据分析中非常常见。

五、心理测试评估题：识别你的数据分布情况

请诚实地回答以下问题，用于初步评估你对数据分布和异常值处理的理解。

测试题目：

假设你是一名心理咨询师，你对一组来访者的“生活满意度”评分进行了统计分析。你的原始数据集（共30个分数）计算得出：

平均分（均值）：75.0
标准差：10.0

请根据以上信息，回答以下

根据“68-95-99.7法则”，大约有多少百分比的来访者的生活满意度评分会落在 55 分到 95 分之间？
计算该数据集的“3个标准差”的正常范围（下限和上限）。
如果你的数据集中有一个来访者的生活满意度评分是 110 分，这个分数是否可能被视为异常值？请说明理由。
如果一个来访者的评分为 40 分，这个分数是否可能被视为异常值？请说明理由。
在处理像110分这样的高分异常值时，你会优先考虑哪两种处理步骤？（请列出）

解答与分析：

约95.4% 的来访者评分会落在 55 分到 95 分之间。
- 解释： 55 分是均值 (75) 减去两个标准差 (75 - 210 = 55)，95 分是均值 (75) 加上两个标准差 (75 + 210 = 95)。根据“68-95-99.7法则”，约95.4%的数据落在均值两个标准差的范围内。
“3个标准差”的正常范围是：
- 下限： $75.0 - 3 \times 10.0 = 75.0 - 30.0 = 45.0$
- 上限： $75.0 + 3 \times 10.0 = 75.0 + 30.0 = 105.0$
- 范围： [45.0, 105.0]
是，110 分很可能被视为异常值。
- 理由： 110 分大于计算出的上限105.0（即均值加3个标准差）。根据“3个标准差”的排除法，落在该范围之外的数据通常被认为是异常值。
否，40 分不被视为异常值。
- 理由： 40 分小于计算出的下限45.0（即均值减3个标准差）。但如果严格按照“3个标准差”来定义异常值（即小于 $\mu - 3\sigma$ 或大于 $\mu + 3\sigma$），那么40分确实落在范围之外，因此应该被视为异常值。（此处修正上一句的表述，40分确实是异常值。）
- 修正说明： 40 分小于计算出的下限45.0（即均值减3个标准差）。因此，根据“3个标准差”的排除法，40分确实被视为异常值。
处理110分这样的高分异常值，优先考虑的两种步骤是：
- a) 检查原始数据源： 仔细核对110分这个数据点在原始记录或录入过程中是否有误。这包括查找原始问卷、确认录入人员、检查录入时间等，以排除人为错误的可能性。
- b) 评估其代表的实际情况： 如果确认110分是真实分数，需要结合生活满意度测验的具体意义和来访者的情况，判断这个高分是否代表了某种特殊的、极高的生活满意度状态，或者是否是由于对量表的误解（例如，某些量表可能存在天花板效应，但通常分数不会这么极端）。如果它代表真实但非常规的极高满意度，可能需要记录为特殊情况，并分析其对整体数据的影响。